數學傳播季刊第178期:初等微分幾何講稿與我 | 全台避難所資訊
2021年6月30日—p.3黃武雄/小書與大書—《初等微分幾何講稿》增訂版序p.9葉宗樺/初等微分幾何講稿與我一段引人入勝又興味十足的閱讀經驗
黃武雄教授日前推出巨著《大域微分幾何》三冊。為輔助初入門者,將重新出版《初等微分幾何講稿》。黃老師概要解說了大書和小書的關聯。而如葉宗樺先生所言,黃老師其實想和讀者分享一個精彩的故事。容我也來說這個故事。1827年,Gauss提出Theorema Egregium,證明高斯曲率 K 是曲面的內在(intrinsic) 不變量,在局部等距變換下保持不變。繼之,古典Gauss-Bonnet定理說:對封閉有向的二維黎曼流形M,有∫_M▒〖K dA=χ(M)〗,其中χ(M)是 M的尤拉示性數。1931年,Heinz Hopf提問:Gauss-Bonnet定理可否推廣至任意偶數維度?1943年,Allendoerfer及André Weil解決了此問題,論證繁複。1944年,陳省身先生套用Élie Cartan的活動標架理論,對此提出內在證明,簡潔俐落,影響深遠。此即所謂的Gauss-Bonnet-Chern定理;對封閉有向的偶數d維黎曼流形M,該定理說:∫_M▒〖Ω =χ(M)〗,其中 Ω 為曲率 2-form建構出的內在d-form。
在大域幾何,由於微分式 (differential form) 與代數拓樸的深刻關聯,曲率form比曲率張量好用些。而陳先生應用了Poincaré-Hopf 指標定理,把大域的拓樸資訊局部化,將 χ(M) 計為向量場零點的degree總和。
考慮M上的投影球叢 (projective sphere bundle) SM。利用投影 π:SM→M 將 Ω 拉回 SM,陳先生證明:存在SM上的(d-1)-form Π 使得〖 π〗* Ω=dΠ。現選取M上具孤立奇異點 {x_i,i∈I} 的球面束S;用 π|_S 將 ∫_(M∖⋃_(i∈I)▒(B(x_i)) ̅ )▒Ω 拉回S,其中 B(x_i) 是環 x_i 的小球。於是有 ∫_(M∖⋃_(i∈I)▒(B(x_i)) ̅ )▒Ω=∫_S▒〖d〖Π|〗_S 〗=∫_(〖π|〗_S(-1) (⋃_(i∈I)▒(B(x_i)) ̅ ))▒Π。由Poincaré-Hopf 指標定理知:當球 B(x_i) ...
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